Il Disegno: M.C. Escher: tra arte e geometria

"Coloro che tentano di raggiungere l'assurdo otterranno l'impossibile"

-M.C. Escher

Foto della copertina del libro dedicato alla mostra su M.C. Escher

In una mostra dedicata a Maurits Cornelis Escher tenutasi a Milano nel 2016 acquistai il libro dell'esposizione. Ho così deciso di dedicare questo post all'artista olandese perché le sue opere presentano un perfetto connubio tra matematica e disegno, tra percezione e rappresentazione, tra realtà e immaginazione.

Vi invito inoltre a guardare il progetto del Politecnico di Torino riguardante il mondo di Escher a questo link.

Escher occupa un ruolo speciale nella storia dell'arte contemporanea per la sua produzione posteriore al 1935, anno in cui lasciò l'Italia fascista per tornare definitivamente in Olanda. In questo periodo il contenuto delle sue opere divenne sempre meno raffigurativo e sempre più intellettuale, ed egli si ritrovò ad usare in maniera crescente motivi matematici.

Geometria euclidea solida

La matematica si è intromessa nelle arti figurative ogni volta che si sono rappresentate figure geometriche, in particolare solidi di varia forma.
Escher è stato particolarmente attratto dai poliedri regolari (o solidi platonici) perché questi «simboleggiano in maniera impareggiabile l'umana ricerca di armonia e ordine, ma allo stesso tempo la loro perfezione ci incute un senso di impotenza».
I solidi platonici sono solo cinque: tetraedro, ottaedro, icosaedro, cubo e dodecaedro.

Quattro solidi regolari, Maggio 1961

Secondo Escher «la magnifica fusione di un cubo con un ottaedro non esiste, ma nondimeno possiamo continuare a sperarla». Fu così che creò Quattro solidi regolari in cui la fusione appena citata viene inserita all'interno dell'altrettanto magnifica fusione di icosaedro e dodecaedro, che sono anch'essi reciproci.

I suoi studi sulle intersezioni dei solidi regolari lo portarono alla creazione di altre opere, tra cui Stelle: il poliedro principale è l'intersezione di tre ottaedri e fra le stelle compaiono non solo i cinque solidi platonici, ma anche l'intersezione di cubo e ottaedro (angolo Nord-Ovest), la stella ottangula (angolo Nord-Est), l'intersezione di due cubi con un vertice in comune (angolo Sud-Ovest), e una versione solida e più comprensibile della figura principale (angolo Sud-Est).

Stelle, Ottobre 1948

Geometria euclidea piana

Per sua stessa ammissione, il soggetto che più interessò Escher fu la divisione regolare del piano:

" Non so immaginare la mia vita senza questo problema.

Mi ci imbattei molto tempo fa, durante le mie peregrinazioni; vidi un alto muro e, come per la premonizione di un'enigma, di qualcosa che esso potesse nascondere, lo scalai con qualche difficoltà. Dall'altro lato, però, mi ritrovai in una giungla; dopo essermi aperta la via con grande sforzo giunsi alla porta aperta della matematica, da cui si dipartivano cammini in ogni direzione. A volte penso di averli percorsi tutti, ammirandone le vedute; e poi improvvisamente scopro un nuovo cammino e sperimento una nuova delizia."

Il problema in questione viene chiamato "tassellazione del piano": consiste nel ricoprire l'intero piano mediante tasselli, come in un gigantesco puzzle.

Fantasmi, Maggio 1971

Fotografia di una pagina del libro

Geometria non euclidea piana

Il problema della tassellazione si può estendere dal piano euclideo a superfici più complicate, per esempio il piano iperbolico, caratterizzato dal fatto che per un suo punto passano più parallele ad una retta data. Due famosi modelli della geometria iperbolica sono stati trovati da Henri Poincaré: uno consiste in un cerchio euclideo senza il bordo (la circonferenza), l'altro in un semipiano euclideo senza il bordo (la retta che determina il semipiano), ed in entrambi i casi le rette iperboliche sono rappresentate da archi di cerchi euclidei ortogonali al bordo.
Escher ne rimase profondamente affascinato e produsse diverse opere che si possono classificare in tre tipi: